Question

已知函数y=

x

x-1

，给出下列命题：
（1）函数图象关于点（1，1）对称；
（2）函数图象关于直线y=2-x对称；
（3）函数在定义域内单调递减；
（4）将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与y=

1

x

的图象重合．
其中正确的命题是

（1）（2）（4）

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：将y=

x

x-1

化为y=1+

1

x-1

，可判断（4）；再化为y-1=

1

x-1

可判断（1），（3）；求出y=

x

x-1

关于直线y=2-x对称的函数表达式可判断（2）．

解答：解：∵y=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

，∴y-1=

1

x-1

，显然其图象关于点（1，1）对称；（1）正确，（3）错误；
∵y=2-x，∴x=2-y，∴y=

x

x-1

关于直线y=2-x对称的函数表达式为：2-x=

2-y

2-y-1

，整理得y=

x

x-1

，即函数y=

x

x-1

图象关于直线y=2-x对称；（2）正确；
∵y=

x

x-1

=1+

1

x-1

，将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后可得y=

1

x

，（4）正确；
故答案为：（1），（2），（4）．

点评：本题考查函数的平移，对称及单调性，重点考查学生分析与转化的数学能力，属于中档题．