Question

【题目】已知函数f（x）g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=23x．

（1）证明：f（x）-g（x）=23-x，并求函数f（x），g（x）的解析式；

（2）解关于x不等式：g（x2+2x）+g（x-4）＞0；

（3）若对任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-4恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（-∞，-4）∪（1，+∞）；（3）3.

【解析】

（1）根据偶函数和奇函数的定义，令-x代替x，即可求出f（x）-g（x）的解析式，再利用方程组求出f（x）、g（x）的解析式；（2）根据g（x）是定义域R上的增函数，把不等式化为x2+2x＞4-x，求出解集即可；（3）根据f（x）≥2把不等式化为，再构造函数，求出函数的最小值，即可求得实数m的最大值．

（1）证明：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）；

又f（x）+g（x）=23x，①

∴f（-x）+g（-x）=23-x，

即f（x）-g（x）=23-x，②

由①②求得函数f（x）=3x+3-x，

g（x）=3x-3-x；

（2）解：g（x）=3x-3-x是定义域R上的单调增函数，

所以不等式g（x2+2x）+g（x-4）＞0可化为g（x2+2x）＞-g（x-4）=g（4-x），

即x2+2x＞4-x，整理得x2+3x-4＞0，解得x＜-4或x＞1，

所以不等式的解集为（-∞，-4）∪（1，+∞）；

（3）解：对任意x∈R，函数f（x）=3x+3-x≥2=2，当且仅当x=0时取“=”；

所以不等式f（2x）≥mf（x）-4化为32x+3-2x≥m（3x+3-x）-4，

即m≤=；

设t=3x+3-x，则t≥2，

所以函数g（t）=t+在区间[2，+∞）上单调递增，

g（t）min=g（2）=2+1=3，即m≤3,

所以实数m的最大值为3．