Question

18．在平面直角坐标系中，定点F（1，0），P是定直线l：x=-1上一动点，过点P作l的垂线与线段PF的垂直平分线相交于点Q，记Q点的轨迹为曲线T，过点E（2，0）作斜率分别为k₁，k₂的两条直线AB，CD交曲线T于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．
（1）求曲线T的方程；
（2）若k₁+k₂=1，求证：直线MN过定点．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的定义可得点Q的轨迹是以F为焦点，以直线l₁：x=-1为准线的抛物线，即可求曲线T的方程；
（2）设AB的方程为y=k₁（x-2），联立抛物线方程得k₁y²-4y-8k₁=0，y₁+y₂=$\frac{4}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-4m，求出M，N的坐标，由此能证明直线MN恒过定点（2，2）．

解答 （1）解：过点P作l的垂线与线段PF的垂直平分线相交于点Q，∴|QP|=|QF|，即点Q到点F（1，0）的距离等于点Q到直线l₁：x=-1的距离，
由抛物线的定义可得点Q的轨迹是以F为焦点，以直线l₁：x=-1为准线的抛物线，
方程为y²=4x．
（2）证明：设AB的方程为y=k₁（x-2），联立抛物线方程得k₁y²-4y-8k₁=0，y₁+y₂=$\frac{4}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-4m，
AB中点M（$\frac{2}{{{k}_{1}}^{2}}$+2，$\frac{2}{{k}_{1}}$），
同理，点N（$\frac{2}{{{k}_{2}}^{2}}$+2，$\frac{2}{{k}_{2}}$），
∴k_MN=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$=k₁k₂，
∴MN：y-$\frac{2}{{k}_{1}}$=k₁k₂[x-（$\frac{2}{{{k}_{1}}^{2}}$+2）]，
即y=k₁k₂（x-2）+2，
∴直线MN恒过定点（2，2）．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．