Question

【题目】如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD， ，M为PC的中点，N点在AB上且.

(1)证明：MN∥平面PAD；

(2)求直线MN与平面PCB所成的角．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）过点M作ME∥CD交PD于E点，则根据平几知识可得AEMN为平行四边形，即EM∥AN，再根据线面平行判定定理证结论（2）过N点作NQ∥AP交BP于点Q， NF⊥CB于点F，则易得面NQF垂直平面PCB，再过N点作NH⊥QF于点H，由面面垂直性质定理得NH⊥平面PBC，因此可得∠NMH为直线MN与平面PCB所成角，最后解三角形得直线MN与平面PCB所成的角．

试题解析：证明 (1)过点M作ME∥CD交PD于E点，连接AE，

∵AN＝NB，∴AN＝AB＝DC＝EM，

又EM∥DC∥AB，∴EM∥AN，

∴四边形AEMN为平行四边形，∴MN∥AE，

又∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.

(2)过N点作NQ∥AP交BP于点Q，

NF⊥CB于点F，连接QF，过N点作NH⊥QF于点H，

连接MH，易知QN⊥平面ABCD，

∴QN⊥BC，又NF⊥BC，NF∩QN＝N，NF平面QNF，QN平面QNF，

∴BC⊥平面QNF，∴BC⊥NH，

∵NH⊥QF，BC∩QF＝F，BC平面PBC，QF平面PBC，∴NH⊥平面PBC，

∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成角，

通过计算可得MN＝AE＝，QN＝，NF＝，

∴NH＝＝＝，

∴sin∠NMH＝＝，∴∠NMH＝60°，∴直线MN与平面PCB所成角为60°.