Question

（2012•武清区一模）已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，an+1=2an+2n+2成立，解决下列问题．
（Ⅰ）若a₃是2a₁、a₄的等比中项，求a₁的值；
（Ⅱ）求证：数列{

an

2n

}为等差数列；
（Ⅲ）若a₁=2，数列{

an

2n

}的前n项和为S_n，求证

n

i=1

1

Si

＜

5

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接把n=3，2，1代入an+1=2an+2n+2，再借助于a₃是2a₁、a₄的等比中项，即可求出a₁的值；
（Ⅱ）先假设存在一个实数λ符合题意，得到   必为与n无关的常数，整理   即可求出实数λ，进而求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）通过（Ⅱ），求出数列的通项公式，求出数列的前n项和，利用放缩法扩大数列的和，通过无穷数列的求和，证明结果．

解答：解：（Ⅰ）由an+1=2an+2n+2，a₃是2a₁、a₄的等比中项，a₃²=2a₁•a₄，
a2=2a1+23，a3=2a2+24所以a3=4a1+25同理可得a4=8a1+3×25，
所以( 4a1+25)2=2a1( 8a1+3×25)，解得a₁=-16．
（Ⅱ）由an+1=2an+2n+2，可知

an+1

2n+1

=

an

2n

+2，所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=2，
所以数列{

an

2n

}是以

a1

21

为首项以2为公差的等差数列．
（Ⅲ）若a₁=2，数列{

an

2n

}的首项为1，公差为2，所以

an

2n

=1+(n-1)×2，
所以an=(2n-1)2n，
前n项和为S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，①
则2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-S_n=2+2（2²+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=2+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）×2ⁿ⁺¹．
S_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．

1

Sn

=

1

(2n-3)•2n+1+6

，

n

i=1

1

Si

=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+… +

1

Sn

=

1

2

+

1

14

+

1

54

+…+

1

(2n-3)•2n+1+6

＜

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

＜

1 2

1- 1 2

=1＜

5

3

．

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定．数列求和的方法，错位相减法以及放缩法的应用，考查分析问题解决问题的能力．