Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n．a₁=2，S₃=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比是q，根据S₃=14，可得q的方程，解出q，利用等比数列的通项公式可得答案；
（Ⅱ）利用错位相减法可得T_n．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比是q，依题意 q＞0．                 
由S₃=14，得 a1(1+q+q2)=14，整理得 q²+q-6=0．                                             
解得 q=2，舍去q=-3．                                      
所以数列{a_n}的通项公式为an=a1•qn-1=2n．                        
（Ⅱ）由bn=n•an=n•2n，
得 Tn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
所以 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1．                      
两式相减，得Tn=-(2+22+23+…+2n)+n•2n+1=-

2(1-2n)

1-2

+n•2n+1，
所以Tn=(n-1)2n+1+2．

点评：本题考查等比数列的性质、数列求和，若{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，则数列{a_nb_n}的前n项和可用错位相减法求解，要注意公比为1的情况．