Question

袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是

1

3

，从B中摸出一个红球的概率是

2

3

．现从两个袋子中有放回的摸球•
（I）从A中摸球，每次摸出一个，共摸5次．求：
（i）恰好有3次摸到红球的概率；
（ii）设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望；
（Ⅱ）从A中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A中摸球，若是红球则在袋子B中摸球，若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球，若是红球则在袋子A中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为Y，求Y的分布列以及随机变量Y的期望．

Answer 1

分析：（I）（i）由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到结果．
（ii）由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到答案．
（II）由题意知计摸出的红球的次数为Y，随机变量Y的取值为0，1，2，3；由独立试验概率公式得到概率，写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）（i）由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，
根据独立重复试验公式得到，恰好有3次摸到红球的概率：C₅³×（

1

3

）³×（

2

3

）²=

40

243

．
（ii）由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，
根据独立重复试验公式得到：X～B（5，

1

3

），
∴EX=5×

1

3

=

5

3

．
（II）∵随机变量Y的取值为0，1，2，3；且：
P（Y=0）=（1-

1

3

）³=

8

27

；
P（Y=1）=

1

3

×（

1

3

）²+（1-

1

3

）×

1

3

×

1

3

+

1

3

×（1-

1

3

）²=

7

27

；
P（Y=2）=

1

3

×（1-

1

3

）²+（1-

1

3

）×

1

3

×

1

3

+

1

3

×（1-

1

3

）²=

10

27

；
P（Y=3）=（1-

1

3

）×

1

3

×

1

3

=

2

27

；
随机变量Y的分布列是：

∴Y的数学期望是EY=

11

9

．

点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．