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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：(a+
    1
    a
    )2+(b+
    1
    b
    )2≥
    25
    2
    ．
    分析：利用基本不等式，先证明
    1
    ab
    ≥4    ，再利用(a+
    1
    a
    )    2    +(b+
    1
    b
    )    2    ≥2(
    a+
    1
    a
    +b+
    1
    b
    2
    )    2    =2(
    1+
    1
    a
    +
    1
    b
    2
    )    2    ，即可得到结论．
    解答：证明：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
    ∴
    		ab
    ≤
    a+b
    2
    =
    1
    2
    ，
    ∴ab≤
    1
    4
    ，∴
    1
    ab
    ≥4    ，
    ∴(a+
    1
    a
    )2+(b+
    1
    b
    )2≥2(
    a+
    1
    a
    +b+
    1
    b
    2
    )2=2(
    1+
    1
    a
    +
    1
    b
    2
    )2    =2(
    1+
    a+b
    ab
    2
    )2=2(
    1+
    1
    ab
    2
    )2≥2(
    1+4
    2
    )2=
    25
    2

    即(a+
    1
    a
    )2+(b+
    1
    b
    )2≥
    25
    2
    ．
    点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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    设a＞0，b＞0，且2a+b=1，则
    2
    a
    +
    1
    b
    的最小值是
    9
    9
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•保定一模）设a＞0，b＞0，且a+b=2，
    1
    a
    +
    1
    b
    的最小值为m，记满足x2+y2≤3m的所有整点坐标为（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），则
    n
    i=1
    |xiyi|
    20
    20
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设a＞0，b＞0，且a+b≤4，则有（　　）
    A、
    1
    ab
    ≥
    1
    2
    B、
    		ab
    ≥2
    C、
    1
    a
    +
    1
    b
    ≥1
    D、
    1
    a+b
    ≤
    1
    4

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