Question

设各项均不为0的数列{a_n}的前n项之乘积是b_n，且λa_n+b_n=1（λ∈R，λ＞0）
（1）探求a_n、b_n、b_n-1之间的关系式；
（2）设λ=1，求证{

1

bn

}是等差数列；
（3）设λ=2，求证：b₁+b₂+…+b_n＜

2

3

．

Answer 1

分析：（1）利用各项均不为0的数列{a_n}的前n项之乘积是b_n，且λa_n+b_n=1，即可探求a_n、b_n、b_n-1之间的关系式；
（2）当n≥2时，将a_n=

bn

bn-1

代入a_n+b_n=1中，即可证得结论；
（3）求出数列的通项，利用放缩法及等比数列的求和公式，即可证得结论．

解答：（1）解：由数列{a_n}的前n项之乘积是b_n，得a₁=b₁，a_n=

bn

bn-1

（2分）
（2）证明：令n=1，得λa₁+b₁=1，又a₁=b₁，∴b₁=

1

λ+1

∵λ=1，∴b₁=

1

2

  （3分）
当n≥2时，将a_n=

bn

bn-1

代入a_n+b_n=1中，得

bn

bn-1

+b_n=1，则

1

bn

=

1

bn-1

+1  （4分）
∴数列{

1

bn

}是以2为首项，以1为公差的等差数列
（3）解：∵2a₁+b₁=1，a₁=b₁∴3b₁=1，b₁=

1

3

  （5分）
当λ=2时，将a_n=

bn

bn-1

代入2a_n+b_n=1中，得2

bn

bn-1

+b_n=1
则

1

bn

=2

1

bn-1

+1  （6分）
∴

1

bn

+1=2（

1

bn-1

+1）（7分）
∴{

1

bn

+1}是以

1

b1

+1=4为首项，以2为公比的等比数列 （8分）
∴

1

bn

+1=2ⁿ⁺¹
∴bn=

1

2n+1-1

∵

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2

•

1

2n-1

∴bn＜

1

2

bn-1（n≥2）
∴b₁+b₂+…+b_n≤b₁+

1

2

b₁+…+

1

2n-1

b₁=b₁•

1- 1 2n

1- 1 2

＜b₁•

1

1 2

=

2

3

∴b₁+b₂+…+b_n＜

2

3

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查等差数列的证明，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，有一定的难度．