Question

设函数f（x）=x²+aln（1+x）有两个极值点x₁、x₂，且x₁＜x₂．
（I）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（II）求f（x₂）的取值范围．

Answer 1

解：（I）求导函数可得f′（x）=
令g（x）=2x²+2x+a，，其对称轴为x=-．
由题意知x₁、x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
其充要条件为△=4-8a＞0且g（-1）=a＞0，得0＜a＜ …（2分）
（1）当x∈（-1，x₁）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x₁）内为增函数；
（2）当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x₁，x₂）内为减函数；
（3）当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₂，+∞）内为增函数；
（II）由（I）g（0）=a＞0，∴-＜x₂＜0，a=-（2x²₂+2x₂）
∴f（x₂）=x²₂+aln（1+x₂）=x²₂-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）
设h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）（x＞-），…（8分）
则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）…（10分）
（1）当x∈（-，0）时，h'（x）＞0，∴h（x）在（-，0）单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减 …（12分）
∴当x∈（-，0）时，h（x）＞h（-）=
故f（x₂）=h（x₂）＞． …（14分）
分析：（I）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），令g（x）=2x²+2x+a，由题意知x₁、x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出单调区间；
（II）x₂是方程g（x）=0的根，将a用x₂表示，消去a得到关于x₂的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求f（x₂）的取值范围．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．