Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，若右准线上存在P点使得线段PF₁的垂直平分线恰好过F₂，则该椭圆的离心率的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：设点P（ ，m），则由中点公式可得线段PF₁的中点K的坐标，根据 线段PF₁的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，求出 m² 的解析式，再利用 m²≥0，得到3e⁴+2e²-1≥0，求得 e 的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e 的范围．
解答：解：由题意得  F1（-c，0）），F2 （c，0），设点P（ ，m），则由中点公式可得线段PF₁的中点
K（ ， ），∴线段PF₁的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，∴•=-1，
∴m²=-（ +c）•（ ）≥0，∴a⁴-2a²c²-3 c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥，或 e²≤-1（舍去），∴e≥．
又椭圆的离心力率  0＜e＜1，故   ≤e＜1，
故答案为[，1）．
点评：本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用．属于基础题．