Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，且2AA₁=AB，D、E、F分别是B₁C₁，A₁B，A₁C的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C；
（3） 求直线A₁D与平面A₁BC所成的角．

Answer 1

分析：（1）根据E，F分别是A₁B，A₁C的中点，根据中位线可知EF∥BC，又EF?平面ABC，BC?平面ABC，
根据线面平行的判定定理可知以EF∥平面ABC．
（2）根据三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，则BB₁⊥平面A₁B₁C₁，又A₁D?平面A₁B₁C₁，根据线面垂直的判定定理可知A₁D⊥平面BB₁C₁C，又A₁D?平面A₁FD，最后根据面面垂直的判定定理可得平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．
（3）取M为BC的中点，连接DM，A₁M，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁DM，又根据面面垂直的判定定理可知平面A₁DM⊥平面A₁BC，从而∠DA₁M即为直线A₁D与平面A₁BC所成的角，不妨设AA₁=a，则DM=a，AB=2a，A1D=

3

a，在三角形DA₁M中求出此角即可．

解答：（1）证明：因为E，F分别是A₁B，A₁C的中点，
所以EF∥BC，（2分）
又EF?平面ABC，BC?平面ABC，
所以EF∥平面ABC．（4分）
（2）证明：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
所以BB₁⊥平面A₁B₁C₁，又A₁D?平面A₁B₁C₁，
所以BB₁⊥A₁D，（6分）
又△A₁B₁C₁为等边三角形，D是B₁C₁的中点，∴A₁D⊥B₁C₁，
又B₁C₁∩BB₁=B₁，所以A₁D⊥平面BB₁C₁C，
又A₁D?平面A₁FD，
所以，平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．（8分）
（3）解：取M为BC的中点，连接DM，A₁M．
易知A₁B=A₁C，∴A₁M⊥BC
又DM⊥BC，A₁M∩DM=M，∴BC⊥平面A₁DM，又BC?平面A₁BC，
∴平面A₁DM⊥平面A₁BC，（10分）
∴∠DA₁M即为直线A₁D与平面A₁BC所成的角．（11分）
不妨设AA₁=a，则DM=a，AB=2a，A1D=

3

a
∴tan∠DA1M=

DM

A1D

=

a

3 a

=

3

3

．（13分）
又∠DA₁M∈（0°，90°），
∴∠DA₁M=30°，即直线A₁D与平面A₁BC所成的角为30°．（14分）

点评：本题考查直线与平面平行，以及直线与平面所成的角和面面垂直的判定等有关知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．