Question

（2012•宿州一模）函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且当f（x₁）=f（x₂）时，总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f（x）在A上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中为真命题的是

②③④

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：根据单函数的定义f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①f（-1）=f（1），显然-1≠1，可知它不是单函数，②③④都是，可得结果．

解答：解：∵若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数
①函数f（x）=x²不是单函数，∵f（-1）=f（1），显然-1≠1，
∴函数f（x）=x²（x∈R）不是单函数；
②∵f（x）为单函数，且x₁≠x₂，
若f（x₁）=f（x₂），则x₁=x₂，与x₁≠x₂矛盾
∴②正确；
③若f：A→B为单函数，则任意的a∈A，则f（a）∈B，当f（a）=b时，b在A中有唯一的原像，当f（a）≠b时，b在集合A中没有原像，则对于任意b∈B，它至多有一个，③正确
④∵函数f（x）是单调函数，
∴f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，即④正确；
故答案为：②③④．

点评：此题以新定义为载体，主要考查了利用新知识分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力．