Question

如图，直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE；

(Ⅱ)求二面角B－AC－E的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1) 　　 　　 　　　6分 　　(2)(法一)连结AC、BD交于G，连结FG， 　　∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC， 　　∠FGB为二面角B－AC－E的平面角，由(1)可知，AE⊥平面BCE， 　　∴AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，AE＝BE＝， 　　在直角三角形BCE中，BE＝，CE＝ 　　在正方形中，BG＝，在直角三角形BFG中， 　　∴二面角B－AC－E为　12分 　　(法二)向量法：取AB中点为O，连EO，∵AE＝EB，∴EO⊥AB， 　　∴EO⊥平面ABCD，以O为原点，OE，AB所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系．易知为面ABC的一个法向量，设为面ACE的法向量． 　　∵，，则， 　　， 　　， 　　∴二面角B－AC－E为．