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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=|x-a2|+|x-3a2|-4a2.若对任意x∈R,f(x)≤f(x+2),则实数a的取值范围为
 
考点:函数与方程的综合运用
专题:函数的性质及应用
分析:由于当x>0时,f(x)=|x-a2|+|x-3a2|-4a2.可得当当0<x≤a2时,f(x)=-2x;当a2<x≤3a2时,f(x)=-2a2;当x>3a2时,f(x)=2x-8a2.画出其图象.由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,即可画出x<0时的图象.由于x∈R,f(x)≤f(x+2)可得8a2≤2,解出即可.
解答: 解:∵当x>0时,f(x)=|x-a2|+|x-3a2|-4a2
∴当0<x≤a2时,f(x)=a2-x+3a2-x-4a2=-2x;
当a2<x≤3a2时,f(x)=x-a2+3a2-x-4a2=-2a2
当x>3a2时,f(x)=x-a2+x-3a2-4a2=2x-8a2
画出其图象如下:

由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,即可画出x<0时的图象,与x>0时的图象关于原点对称.
∵?x∈R,f(x+2)≥f(x),
∴8a2≤2,
解得a∈[-
1
2
1
2
].
∴实数a的取值范围为[-
1
2
1
2
].
故答案为:[-
1
2
1
2
].
点评:本题考查了函数奇偶性、周期性,考查了分类讨论的思想方法,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
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命题“若x=3,则1-3x<0”的否命题
 

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设f(x)定义在实数集R上,当x>0时,f(x)>1且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)gf(y),且f(1)=4,
(1)证明:f(x)为R上的单调函数.
(2)解不等式:f(3x-x2)>16.

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已知f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)(a>0,a≠1,t∈R)
(1)当t=4,x∈[1,2],且F(x)=g(x)-f(x)有最小值2时,求a的值;
(2)当0<a<1,x∈[1,2]时,有f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围;
(3)当0<a<1,存在x∈[1,2],使f(x)≥g(x)成立,求实数t的取值范围.

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如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°),在其内部随机地撒一粒黄豆,则它落在阴影部分的概率为(  )
A、
2
π
B、
1
π
C、
1
2
D、1-
2
π

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已知函数f(x)=
2x2+bx+c(x≥0)
-3(x<0)
,且f(2)=f(0),f(3)=9,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为(  )
A、1B、2C、3D、4

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已知a,b,c是不重合的直线,α,β是不重合的平面,以下结论正确的是
 
(将正确的序号均填上).
①若a∥b,b?α,则a∥α;   
②若a⊥b,a⊥c,b?α,c?a,则a⊥α;
③若a⊥α,a?β,则α⊥β;   
④若a∥β,b∥β,a?α,b?α,则α∥β.

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在等比数列中,若2S3+a3=2S2+a4,则公比q=
 

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