Question

若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”，则称f（x）为完美函数．给出以下四个函数
①f（x）=

1

x

   
②f（x）=|x|
③f（x）=(

1

2

)x 
④f（x）=x²
其中是完美函数的序号是

①

．

Answer 1

分析：首先分析题目要求选择满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函数．故可以把4个选项中的函数分别代入不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|分别验证是否成立即可得到答案．

解答：解：在区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），分别验证下列4个函数．
对于①：f（x）=

1

x

，|f（x₂）-f（x₁）|=|

1

x1

-

1

x2

|=|

x2-x1

x1x2

|＜|x₂-x₁|（因为x₁，x₂在区间（1，2）上，故x₁x₂大于1）故成立．
对于②：f（x）=|x|，|f（x₂）-f（x₁）|=||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|（因为故x₁和x₂大于0）故对于等于号不满足，故不成立．
对于③：f（x）=（

1

2

）^x，|f（x₂）-f（x₁）|=|（

1

2

）^x₂-（

1

2

）^x₁|＜|x₂-x₁|，故不成立．
对于④：f（x）=x²，|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|=（x₂+x₁）|x₂-x₁|＞|x₂-x₁|，故不成立．
故答案为：①．

点评：此题主要考查绝对值不等式的应用问题．对于此类型的题目需要对题目选项一个一个做分析，然后用排除法作答即可．属于中档题目．