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若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,则称f(x)是一个“λ-伴随函数”.有下列关于“λ-伴随函数”的结论:
①f(x)=0是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”;
②f(x)=x不是“λ-伴随函数”;
③f(x)=x2是“λ-伴随函数”;
④“数学公式-伴随函数”至少有一个零点.
其中正确结论的个数是_____个.


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4
B
分析:①、设f(x)=C则(1+λ)C=0,当λ=-1时,可以取遍实数集,可判断①;
②、假设f(x)=x是一个“λ-同伴函数”,则x+λ+λx=0,则有λ+1=λ=0,解方程可判断②;
③、假设f(x)=x2是一个“λ-同伴函数”,则(x+λ)2+λx2=0,则有λ+1=2λ=λ2=0,解方程可判断③;
④、令x=0,可得f()=-f(0).若f(0)=0,f(x)=0有实数根;若f(0)≠0,f( )•f(0)=- (f(0))2<0.可得f(x)在(0,)上必有实根,可判断④
解答:①、设f(x)=C是一个“λ-同伴函数”,则(1+λ)C=0,当λ=-1时,可以取遍实数集,因此f(x)=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”,故①错误
②、假设f(x)=x是一个“λ-同伴函数”,则x+λ+λx=0对任意实数x成立,则有λ+1=λ=0,而此式无解,所以f(x)=x不是“λ-伴随函数”,故②正确;
③、假设f(x)=x2是一个“λ-同伴函数”,则(x+λ)2+λx2=0,
即(1+λ)x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而此式无解,所以f(x)=x2不是一个“λ-同伴函数”.故③错误
④、令x=0,得f()+f(0)=0.所以f()=-f(0).
若f(0)=0,显然f(x)=0有实数根;若f(0)≠0,f()•f(0)=-(f(0))2<0.
又因为f(x)的函数图象是连续不断,所以f(x)在(0,)上必有实数根.
因此任意的“-同伴函数”必有根,即任意“-同伴函数”至少有一个零点.故④正确.
故答案为:B.
点评:本题考查的知识点是函数的概念及构成要素,函数的零点,正确理解f(x)是λ-同伴函数的定义,是解答本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法中:
①函数f(x)=
x-1
x+1
与g(x)=x的图象没有公共点;
②若定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),则6为函数f(x)的周期;
③若对于任意x∈(1,3),不等式x2-ax+2<0恒成立,则a>
11
3

④定义:“若函数f(x)对于任意x∈R,都存在正常数M,使|f(x)|≤M|x|恒成立,则称函数f(x)为有界泛函.”由该定义可知,函数f(x)=x2+1为有界泛函.
则其中正确的是
①②③
①②③

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义在R上的函数f(x)=
-4•3x+m
9x
,若其所有的函数值不超过1,则m的取值范围是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:单选题

对于定义在R上的函数数学公式,若其所有的函数值不超过1,则m的取值范围是


  1. A.
    (-∞,-4]
  2. B.
    (-∞,0]
  3. C.
    [-4,+∞)
  4. D.
    (0,+∞)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

对于定义在R上的函数f(x)=
-4•3x+m
9x
,若其所有的函数值不超过1,则m的取值范围是(  )
A.(-∞,-4]B.(-∞,0]C.[-4,+∞)D.(0,+∞)

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科目:高中数学 来源:2005-2006学年江苏省无锡市天一中学高三数学专项训练:函数(解析版) 题型:选择题

对于定义在R上的函数,若其所有的函数值不超过1,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-4]
B.(-∞,0]
C.[-4,+∞)
D.(0,+∞)

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