Question

8．在平面直角坐标系xOy平面中，两个定点A（-1，2），B（1，4），点M在x轴上运动．
（1）若点M在坐标轴上运动，满足MA⊥MB点M的个数为0；
（2）若点M在x轴上运动，当∠AMB最大时的点M坐标为（1，0），（-7，0）．

Answer 1

分析 （1）求出以AB为直径的圆与x轴的交点，即可得到交点个数．
（2）利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过AB且与x轴相切的圆与x轴的切点为P，则P点即为所求的点．

解答 解：（1）点M在坐标轴上运动，满足MA⊥MB点，就是以AB为直径的圆与x轴的交点，
A（-1，2），B（1，4），圆心是AB的中点（0，3），半径为：$\sqrt{2}$．
以AB为直径的圆的方程为：x²+（y-3）²=2，y=0，解得方程无解，
若点M在坐标轴上运动，满足MA⊥MB点M的个数为0个．
故答案为：0．
（2）设过AB且与x轴相切的圆的圆心为E（x，y），则M（x，0）．因为M，A，B三点在圆上，
∴EM=EA=EB，
∴（x+1）²+（y-2）²=y²=（x-1）²+（y-4）²
整理可得，x²+6x-7=0
解方程可得x=1，x=-7．M（1，0），（-7，0）．
故答案为：M（1，0），（-7，0）．

点评 本题主要考查了圆的性质圆外的角小于圆周角在求解角的最值中的应用，属于中档题．