Question

10．已知P：|$\frac{1-a}{3}$|＜2，q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B≠∅，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别化简命题p、q，由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得：p与q必然一真一假．即可得出．

解答 解：易知：命题p：-5＜a＜7；…（2分）
命题q由A∩B≠∅，得：x²+（a+2）x+1=0在（0，+∞）有解
即：-（a+2）=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$，当且仅当x=1时取等号，-（a+2）≥2，即a≤-4；…（5分）
由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，知：命题p与命题q一真一假
（i）当p真q假时，即$\left\{\begin{array}{l}{-5＜a＜7}\\{a＞-4}\end{array}\right.$得：-4＜a＜7  …（8分）
（ii）当q真p假时，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥7或a≤-5}\\{a≤-4}\end{array}\right.$得：a≤-5  …（11分）
综述：实数a的取值范围（-∞，-5]∪（-4，7）…（12分）

点评 本题考查了不等式的解法、二次函数的性质、简易逻辑的有关知识，属于基础题．