Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD 　

(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；

(II) 证明平面AMD平面CDE；

（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

Answer 1

本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。

方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）证明：因为

（III）

由（I）可得，

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，

点为坐标原点。设依题意得      

（I）   w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

所以异面直线与所成的角的大小为.

（II）证明：  ，

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（III）

又由题设，平面的一个法向量为

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m