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已知数列{an}满足a1=1,an=
4an-1
2an-1+1
(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明不等式:a1+a2+a3+…+an
3n-16
2
考点:数列递推式,数列与不等式的综合
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)由数列{an}满足a1=1,an=
4an-1
2an-1+1
(n≥2).取倒数可得:
1
an
=
1
2
+
1
4an-1
,转化为等比数列的通项公式即可得出证明:
(2)由于an=
3
2
(1-
2
2+4n
)
3
2
(1-
1
22n-1
)
,利用等比数列的前n项和公式即可得出.
解答: (1)解:由数列{an}满足a1=1,an=
4an-1
2an-1+1
(n≥2).
取倒数可得:
1
an
=
1
2
+
1
4an-1

化为
1
an
-
2
3
=
1
4
(
1
an-1
-
2
3
)

∴数列{
1
an-1
-
2
3
}
是等比数列,首项为1-
2
3
=
1
3

1
an
-
2
3
=
1
3
×(
1
4
)n-1

∴an=
4n
4+2×4n

(2)证明:∵an=
3
2
(1-
2
2+4n
)
3
2
(1-
1
22n-1
)

∴a1+a2+a3+…+an
3
2
[n-
1
2
(1-
1
4n
)
1-
1
4
]
3
2
(n-
2
3
)
=
3
2
n-1
3n-16
2
点评:本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出,考查了通过放缩证明不等式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
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