Question

已知△ABC的顶点A（0，-4），B（0，4），且4（sinB-sinA）=3sinC，则顶点C的轨迹方程是

y2

9

-

x2

7

=1（y＞3）

．

Answer 1

分析：利用正弦定理化4（sinB-sinA）=3sinC为边的关系，然后直接利用双曲线的定义得到轨迹方程．

解答：解：因为A（0，-4），B（0，4），所以AB=8．
∵4（sinB-sinA）=3sinC，∴结合正弦定理得：4（AC-BC）=3AB=24，
∴AC-BC=6．
∴由双曲线定义，得：
点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的上支（除双曲线与AB的交点外）．
∵AB=8，∴2c=8，∴c=4，
∵AC-BC=6，∴2a=6，∴a=3，
∴b²=c²-a²=16-9=7．
∴点C的轨迹方程是：

y2

9

-

x2

7

=1．
令

y2

9

-

x2

7

=1中的x=0，得：y=3．
∴双曲线的上支与AB的交点坐标是（0，3）．
∴满足条件的点C的轨迹方程是：

y2

9

-

x2

7

=1（y＞3）．
故答案为

y2

9

-

x2

7

=1（y＞3）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了正弦定理的用法，解答的关键是准确理解双曲线的定义，是中档题．