Question

20．平面上动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出动点P的坐标，分P的横坐标小于等于0和大于0两种情况讨论，横坐标小于等于0时明显看出P的轨迹是x轴负半轴，x大于0时直接由题意列式化简整理即可．

解答 解：设P（x，y），
由P到定点F（1，0）的距离为$\sqrt{（{x-1）}^{2}+{y}^{2}}$，
P到y轴的距离为|x|，
当x≤0时，P的轨迹为y=0（x≤0）；
当x＞0时，又动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，
列出等式：$\sqrt{{（x-1）}^{2}+{y}^{2}}$-|x|=1
化简得y²=4x（x≥0），为焦点为F（1，0）的抛物线．
则动点P的轨迹方程为：y²=4x或$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x≤0\end{array}\right.$．

点评 本题考查了抛物线的方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．