Question

已知函数f（x）=1-e^λx（λ∈R且λ≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞-1时，f(x)≥

x

x+1

恒成立，求出λ的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=1-e^λx（λ∈R且λ≠0），得f′（x）=-λe^λx，由此能讨论f（x）的单调性．
（2）当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

恒成立等价于（x+1）e^λx-1≤0，设g（x）=（x+1）e^λx-1（x＞-1），则g（x）≤0恒成立，g（0）=0，g′（x）=（λx+λ+1）e^λx，若λ＞0，当x＞0时，有g（x）＞1×1-1=0，故g（x）≤0不恒成立，所以λ＜0，由g′（x）=0，得x0=-1-

1

λ

，由此列表讨论得到当f（x）≥

x

x+1

在（-1，+∞）上恒成立时，λ=-1．

解答：解：（1）∵f（x）=1-e^λx（λ∈R且λ≠0），
∴f′（x）=-λe^λx，
当λ＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）是单调递增；
当λ＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，+∞）是单调递减．
（2）当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

恒成立等价于（x+1）e^λx-1≤0，
设g（x）=（x+1）e^λx-1（x＞-1），
则g（x）≤0恒成立，g（0）=0，
g′（x）=（λx+λ+1）e^λx，
若λ＞0，当x＞0时，有g（x）＞1×1-1=0，
故g（x）≤0不恒成立，
所以λ＜0，由g′（x）=0，得x0=-1-

1

λ

，

x	（-1，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↑	极大值	↓

当λ=-1时，x₀=0，g（x）在x=0取得最大值．
有g（x）≤g（0）=0，故g（x）≤0恒成立；
当-1＜λ＜0时，x₀＞0，g（x）在[0，x₀]单调增．
有g（x₀）＞g（0）=0，故g（x）≤0不恒成立；
当λ＜-1时，-1＜x₀＜0，g（x）在[x₀，0]单调减，
有g（x₀）＞g（0）=0，故g（x）≤0不恒成立．
所以当f（x）≥

x

x+1

在（-1，+∞）上恒成立时，λ=-1．

点评：本题考查函数单调性的讨论和求不等式恒成立时实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．