Question

15．已知函数f（x）满足f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-x^-1），其中a＞0且a≠1．
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值集合；
（2）当x∈（-∞，2]时，f（x）-$\frac{5}{2}$的值恒为负数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 利用换元法求出函数f（x）的解析式f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），可知f（x）在（-∞，+∞）上是递增的奇函数．
（1）由f（1-m）+f（1-m²）＜0，有f（1-m）＜-f（1-m²），进而求出m的范围；
由f（x）为增函数，f（x）-$\frac{5}{2}$也是增函数，只需求左式的最大值即可；

解答 解：令log_ax=t，则x=a^t，
∵f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^t-a^-t），即f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
可知f（x）在（-∞，+∞）上是递增的奇函数．
（1）由f（1-m）+f（1-m²）＜0，有f（1-m）＜-f（1-m²），
∴-1＜1-m＜m²-1，解得1＜m＜$\sqrt{2}$；
（2）由f（x）为增函数，
∴f（x）-$\frac{5}{2}$也是增函数，
要使f（x）-$\frac{5}{2}$在指定的区间上恒为负数，
只需f（2）-$\frac{5}{2}$≤0，即$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2）-$\frac{5}{2}$≤0，
∴a∈[$\frac{1}{2}$，1）∪（1，2]．

点评 考查了换元法求函数的解析式，利用函数的奇偶性求解不等式和恒成立问题的转换．