Question

12．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若对任意实数x，不等式2x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$（x+1）²恒成立，求f（-1）的取值范围；
（2）当a=1时，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据不等式，先令x=1，可得f（1）=2，即a+b+c=2，再由不等式恒成立，结合二次函数的判别式小于等于0，及配方思想，可得a的范围，进而得到f₂（-1）=4a-2，可得范围．
（2）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，f（x）_max-f（x）_min≤4，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数b的取值范围．

解答 解：（1）若对任意实数x，不等式2x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$（x+1）²恒成立，
∴当x=1时，2≤f（1）≤$\frac{1}{2}$（1+1）²=2，
即f（1）=2，则a+b+c=2，
由2x≤f（x）恒成立，即为ax²+（b-2）x+c≥0，
可得a＞0，且（b-2）²-4ac≤0，
即有（a+c）²-4ac≤0，即有（a-c）²≤0，
则a=c成立，
即有b=2-2a，
又f（x）-$\frac{1}{2}$（x+1）²=ax²+（2-2a）x+a-$\frac{1}{2}$（x+1）²=（a-$\frac{1}{2}$）（x-1）²，
对任意的x∈R，都有f（x）≤$\frac{1}{2}$（x+1）²，即有0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故f（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围是（-2，0]．
（2）当a=1时，f（x）=x²+bx+c，
函数f（x）=x²+bx+c对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4恒成立，
即f（x）_max-f（x）_min≤4，
记f（x）_max-f（x）_min=M，则M≤4．
当|$-\frac{b}{2}$|＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）-f（-1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；
当|$-\frac{b}{2}$|≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（-1）}-f（$-\frac{b}{2}$）=$\frac{f（1）+f（-1）+|f（1）-f（-1）|}{2}$-f（$-\frac{b}{2}$）=（1+$\frac{\left|b\right|}{2}$）²≤4，
解得：|b|≤2，
即-2≤b≤2，
综上，b的取值范围为-2≤b≤2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．综合较强，有一定的难度．