Question

【题目】已知函数, ．

（1）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；

（2）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；

（3）求证：（参考数据：ln1.1≈0.0953）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得导数，讨论a＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a的范围；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的导数和二阶导数，判断F'（x）的单调性，讨论a≤﹣1，a＞﹣1，F（x）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令；由（2）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，令，结合条件，即可得证．

（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），

则，

①若a≤1，则，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）递增，

H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1；

②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）递增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，

且x→+∞时，H'（x）→+∞，则x0∈（0，+∞），

使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，

所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，

即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去；

综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]．

（Ⅱ）解：依题意得，则F'（x）=ex﹣x2+a，

则F'（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）递增，

所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞；

①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，

故F（x）在（﹣∞，0）递减，所以F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点；

②若1+a＞0，即a＞﹣1，则使，

进而F（x）在递减，在递增，，

且x→﹣∞时，，

F（x）在上有一个零点，在无零点，

故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．

综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞﹣1时有一个零点．

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，

令，则即；

由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，span>对x＜0恒成立，

令，则，所以；

故有．