Question

【题目】如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；
（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（I）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°， ∴CD=AB﹣2ADcos60°=1，即CD= AB．
∵CD EF，CD AB，又BG= AB，
∴EF BG，
∴四边形EFBG是平行四边形，
∴EG∥BF，
又EG平面BDF，BF平面BDF，
∴EG∥平面BDF
（II）解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD= = ，
∴AD2+BD2=AB2 ， ∴AD⊥BD．
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD．
以D为原点，以直线DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：
则A（1，0，0），E（0，0，1），B（0， ，0），D（0，0，0），F（﹣ ， ，1）
∴ =（﹣1，0，1）， =（0， ，0）， =（﹣ ， ，1），
设平面BDF的法向量为 =（x，y，z），则 ， =0，
∴ ，令z=1得 =（2，0，1），
∴cos＜ ＞= = =﹣ ，
设直线AE与平面BDF所成角为θ，则sinθ=|cos＜ ＞|= ．
（Ⅲ）解：设H（﹣ ， ，h），（0≤h≤1）
当h=0时，显然平面BDF与平面HAD不垂直，
则 =（﹣ ， ，h）， =（1，0，0），
设平面HAD的法向量为 =（x，y，z），则 ， ，
∴ ，令y= 得 =（0， ，﹣ ）．
假设存在点H，使得平面BDF⊥平面HAD，则 ，
∴ =﹣ =0，方程无解．
∴线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD．

【解析】（I）求出CD=1，证明四边形EFBG是平行四边形得出EG∥BF即可得出EG∥平面BDF；（II）建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量 和 的坐标，则直线AE与平面BDF所成角的正弦值为|cos＜ ＞|；（III）假设存在H点满足条件，求出平面HAD的法向量 ，令 =0，根据方程是否有解得出结论．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．