Question

7．已知函数f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）在（0，2）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，16]
• B． （-∞，16）
• C． （16，+∞）
• D． [16，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a≥2x³在（0，2）恒成立，从而求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=x²+$\frac{a}{x}$，f′（x）=2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}-a}{{x}^{2}}$，
若函数f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）在（0，2）上为减函数，
则2x³-a≤0在（0，2）恒成立，
∴a≥2x³在（0，2）恒成立，
而2x³＜16，
故a≥16，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道基础题．