Question

已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=1
（1）求f（x），g（x）的解析式． 
（2）设h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）的奇偶性．
（3）证明函数S(x)=xf(x)+g(

1

2

)在(0，+∞)上是增函数．

Answer 1

分析：（1）待定系数法：设出函数的解析式，利用f（1）=1，g（1）=1，即可求得结论；
（2）先确定函数的定义域，再验证h（-x）与h（x）的关系，即可得到结论；
（3）写出S（x）的解析式，利用导数即可证明；

解答：解：（1）∵函数f（x）是正比例函数，g（x）是反比例函数，
∴设f（x）=k₁x，k₁≠0，g（x）=

k2

x

，k₂≠0，
∵f（1）=1，g（1）=1，
∴k₁=1，k₂=1，
∴f（x）=x，g（x）=

1

x

．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=x+

1

x

，其定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
因为对定义域内的每一个x，都有h（-x）=-（x+

1

x

）=-h（x），
∴函数h（x）是奇函数；
（3）S（x）=xf（x）+g（

1

2

）=x²+2．
S′（x）=2x，当x∈（0，+∞）时S′（x）＞0恒成立，
所以S（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查函数奇偶性的、单调性的判断证明及常见函数解析式的求解，属基础题，应熟练掌握该类问题的基本解决方法．