Question

已知两同心圆的半径分别是5和4，AB为小圆的一条直径．

(1)求以大圆的切线为准线，且过A、B两点的抛物线的焦点的轨迹M；

(2)设过轨迹M的中心的弦为PQ，F是轨迹M的焦点，求S_△PQF的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)建立如图所示的直角坐标系，则A(－4，0)、B(4，0)，设N为大圆上的任一点，l为过N点的大圆的切线，并设抛物线的焦点为F(x，y)，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义得|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|． 　　所以|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝10，而A，B为定点，故焦点F的轨迹M是以A，B为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆(除去长轴上的两个端点)，其方程为＋＝1(y≠0)． 　　(2)根据椭圆的对称性，有S△PQF＝2S△OFP，设△OFP的边OF上的高为h，则 S△QFP＝2×|OF|h＝4h 　　因为h≤3，所以当h＝3时，S△QFP的最大面积是12．