Question

5．设命题p：关于x的方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，命题q：关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负实根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：若P正确，则由题意，a≠0，
则a²x²+ax-2=（ax+2）（ax-1）=0的解为：$x=\frac{1}{a}$或$x=-\frac{2}{a}$，
原方程在[-1，1]上有解，只需$-1≤\frac{1}{a}≤1$或$-1≤-\frac{2}{a}≤1$，
解得：a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）或a∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
综上P真时，a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）；
若q正确，当a=0时，2x+1=0有一个负实根，
当a≠0时，原方程有实根的充要条件为：△=4-4a≥0，∴a≤1，
设两根为x₁，x₂，则${x_1}+{x_2}=-\frac{2}{a}，{x_1}{x_2}=\frac{1}{a}$，
当只有一个负实根时，$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ \frac{1}{a}＜0\end{array}\right.⇒a＜0$，
当有两个负实根时，$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\-\frac{2}{a}＜0\\ \frac{1}{a}＞0\end{array}\right.⇒0＜a≤1$，
综上，q真时，a≤1；
由p∨q为真，p∧q为假知，p，q一真一假，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}a≤-1或a≥1\\ a＞1\end{array}\right.$∴a＞1，
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}-1＜a＜1\\ a≤1\end{array}\right.$∴-1＜a＜1，
∴a的取值范围为a＞1或-1＜a＜1．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．