Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺）．证明数列{log₂（a_n+1）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，从而log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），由此能证明数列{log₂（a_n+1）}为首项为log₂3，公比为2的等比数列，从而能求出a_n．

解答： 证明：∵a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∴log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1）=2log₂（a_n+1），
∴

log2(an+1+1)

log2(an+1)

=2，
又log₂（a₁+1）=log₂3，
∴数列{log₂（a_n+1）}为首项为log₂3，公比为2的等比数列．
∴log₂（a_n+1）=2^n-1•log₂3．
∴a_n+1=2(log23)•2n-1，
∴a_n=2(log23)•2n-1-1
=32n-1-1．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．