Question

设椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明，点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

Answer 1

（1）＝1（2）

(1)由e＝得＝，即a＝2c，∴b＝c.
由右焦点到直线＝1的距离为d＝，＝1化为一般式：bx＋ay－ab＝0得＝，解得a＝2，b＝.
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.与椭圆＝1联立消去y，得(4k²＋3)x²＋8kmx＋(4m²－12)＝0.由根与系数的关系得x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.
∵OA⊥OB，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，∴x₁x₂＋(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝0，即(k²＋1)x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝0，
∴(k²＋1) －＋m²＝0.
整理得7m²＝12(k²＋1)，所以O到直线AB的距离d＝＝＝ (为定值)．
当直线AB斜率不存在时，可求出直线AB方程为x＝±，则点O到直线AB的距离为 (定值)
∵OA⊥OB，∴OA²＋OB²＝AB²≥2OA·OB，当且仅当OA＝OB时取“＝”，由直角三角形面积公式得：
d·AB＝OA·OB.
∵OA·OB≤，∴d·AB≤.
∴AB≥2d＝，故当OA＝OB时，弦AB的长度取得最小值.