Question

10．已知圆D的半径为1，圆C的方程是（x-2）²+（y+1）²=4，若圆D与圆C相切于点（4，-1），则圆D的标准方程是（x-5）²+（y+1）²=1 或（x-3）²+（y+1）²=1．

Answer 1

分析 分两圆外切、内切两种情况，分别求得圆心的坐标，可得要求的圆的方程．

解答 解：圆（x-2）²+（y+1）²=4的圆心为C（2，-1），半径为2，
设所求的圆心坐标为（a，b），
切点为A（4，-1）且半径为1的圆满足$\sqrt{（a-4）^{2}+（b+1）^{2}}=1$，①
（1）若两圆外切，则$\sqrt{（a-2）^{2}+（b+1）^{2}}=1+2=3$，②
由①②得a=5，b=-1，即此时圆心为为M（5，-1），
（2）若两圆内切，则$\sqrt{（a-2）^{2}+（b+1）^{2}}$=2-1=1，③
由①③得a=3，b=-1，即此时圆心为为N（3，-1），
故要求的圆的方程为（x-5）²+（y+1）²=1 或（x-3）²+（y+1）²=1．

点评 本题主要两圆相切的性质，求圆的标准方程，求出圆心的坐标，是解题的关键，注意要分内切和外切两种情况．