Question

一个正三角形的三个顶点都在双曲线x²-ay²=1的右支上，其中一个顶点与双曲线右顶点重合，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据双曲线方程求得A点坐标，设处B和c的坐标，进而分别表示出AB和BC，令二者相等得到关于c与a的方程，判断出判别式大于或等于0，求得a的范围，最后根据a＞0，进而求得答案．

解答：解：依题意可知A（1，0）
又因为三角形ABC是正三角形，所以AB=BC
假设B（c，

1-c2

a

），C（c，-

1-c2

a

）
AB=

1-c2 2

+(c-1) 2，BC=2×

1-c2

a

得到关于c与a的方程，（1+

3

a

）c²-2c+1-

3

a

=0．
因为正三角形ABC存在，所以方程有解．
△=4-4（1+

3

a

）（1-

3

a

）≥0恒成立
又因为B，C两点在双曲线的右支，
所以

2

1+3a

＞0，

1- 3 a

1+ 3 a

＞0．
得到a＞3或a＜-3
∵a＞0
综上，a＞3．
故答案为a＞3

点评：本题主要考查了双曲线的应用．涉及了不等式，函数等问题．综合性强．