Question

5．在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠BAD=60°，AE⊥BD．
（1）求证：CD∥平面ABFE；
（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD，能证明CD∥平面ABFE．
（2）法一：由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$AD，由勾股定理得BD⊥AD，由此得到DE⊥平面ABCD，延长BF交AE的延长线于点H，连接DH．则∠DHB为直线BF与平面ADE所成的角，由此能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．
（2）法二：由DA，DB，DE两两互相垂直，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
CD?平面ABFE，AB?平面ABFE，
∴CD∥平面ABFE；（5分）
（2）解法一：∵AB=2BC=2AD，∠BAD=60°，
在△ABD中由余弦定理得BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2×AD×AB×cos60°}$=$\sqrt{3}$AD，
∴BD²+AD²=AB²，∴BD⊥AD．
∵AE⊥BD，AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，
∴BD⊥平面ADE．∴BD⊥DE．∵DE⊥DC，∴DE⊥平面ABCD．
延长BF交AE的延长线于点H，连接DH．
则∠DHB为直线BF与平面ADE所成的角，不妨取AB=2BC=2，
由题意得BD=$\sqrt{3}$，BH=AH=2$\sqrt{2}$，
∴直线BF与平面ADE所成角的正弦值为$\frac{BD}{BH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．（12分）
（2）解法二：∵AB=2BC=2AD，∠BAD=60°，
在△ABD中由余弦定理得BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2×AD×AB×cos60°}$=$\sqrt{3}$AD，
∴BD²+AD²=AB²，∴BD⊥AD．
∵AE⊥BD，AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，
∴BD⊥平面ADE．∴BD⊥DE．∵DE⊥DC，∴DE⊥平面ABCD．
∵DA，DB，DE两两互相垂直，
建立如图的空间直角坐标系D-xyz．
∵ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠BAD=60°，∴CB=CD=CF．
不妨设BC=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），
又平面ADE的一个法向量可取$\overrightarrow{u}$=（0，1，0），
∴直线BF与平面ADE所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{u}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{FB}|•|\overrightarrow{u}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}×1}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．