Question

设p≠0，实系数一元二次方程z²-2pz+q=0有两个虚数根z₁，z₂、再设z₁，z₂在复平面内的对应点是Z₁，Z₂，求以Z₁，Z₂为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．

Answer 1

因为p，q为实数，p≠0，z₁，z₂为虚数，
所以（-2p）²-4q＜0，q＞p²＞0
由z₁，z₂为共轭复数，知Z₁，Z₂关于x轴对称，
所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，
可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，
可得椭圆的短轴长=2b=|z₁+z₂|=2|p|，
焦距离=2c=|z₁-z₂|=

|(z1+z2)2-4z1z2|

=2

q-p2

，
长轴长=2a=2

b2+c2

=2

q

.