Question

20．在直角坐标系xOy中，点P（2，1）为抛物线C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$上的定点，A，B为抛物线C上两个动点．
（1）若直线PA与PB的倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值；
（2）若PA⊥PB，直线AB是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出A、B坐标，利用斜率公式及直线PA与PB的倾斜角互补两直线斜率相反，从而求出AB斜率．
（2）若PA⊥PB，则两直线斜率积为-1，求出直线AB 的方程，可得直线AB经过定点（-2，5）．

解答 证明：（1）设点A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
若直线PA与PB的倾斜角互补，则两直线斜率相反，
又k_PA=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{x}_{1}+2}{4}$，k_PB=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{2}+2}{4}$，
所以$\frac{{x}_{1}+2}{4}$+$\frac{{x}_{2}+2}{4}$=0，
整理得x₁+x₂+4=0，
所以k_AB=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=-1．
（2）解：因为PA⊥PB，
所以k_PAk_PB=$\frac{{x}_{1}+2}{4}$•$\frac{{x}_{2}+2}{4}$=-1，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+20=0，①
直线AB的方程为：$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-y}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}=\frac{{x}_{1}-x}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
整理得：4y-${{x}_{1}}^{2}$=（x₁+x₂）（x-x₁），
即x₁x₂-x（x₁+x₂）+4y=0，②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}-x=2\\ 4y=20\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=5\end{array}\right.$，
即直线AB经过定点（-2，5）．

点评 本题考查的知识点是直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，斜率公式，难度中档．