Question

4．对于正项数列{a_n}，定义H_n=$\frac{n}{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+n{a}_{n}}$为{a_n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H_n=$\frac{2}{n+3}$，则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A． a_n=$\frac{n+1}{n}$
• B． a_n=$\frac{2n+1}{n}$
• C． a_n=$\frac{2n+1}{2n}$
• D． a_n=$\frac{3n+1}{2n}$

Answer 1

分析 通过定义及H_n=$\frac{2}{n+3}$可得a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{n（n+3）}{2}$、a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，两式相减，进而计算可得结论．

解答 解：∵H_n=$\frac{n}{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+n{a}_{n}}$，
∴a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{n}{{H}_{n}}$，
又∵H_n=$\frac{2}{n+3}$，
∴a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{n（n+3）}{2}$，
a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
两式相减得：na_n=$\frac{n（n+3）}{2}$-$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=$\frac{2n+2}{2}$，
∴a_n=$\frac{n+1}{n}$，
故选：A．

点评 本题考查新定义，考查数列的通项，解题的关键是理解新定义，注意解题方法的积累，属于中档题．