Question

已知函数f(x)=ax--3ln x,其中a为常数.

(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;

(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围;

(3)在(1)的条件下,过点P(1,-4)作函数F(x)=x2[f(x)+3lnx-3]图象的切线,试问这样的切线有几条?并求出这些切线方程.

 

Answer 1

【答案】

(1) 1-3ln 2 (2) 0<a< (3) 满足条件的切线只有一条,其方程为5x+y-1=0.

【解析】

解:(1)由题可知f′=1,解得a=1,

故f(x)=x--3ln x,∴f′(x)=,

由f′(x)=0得x=2或x=1.

于是可得x∈的下表:

		2	(2,3]
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘	1-3ln 2	↗

于是可得f(x)min=f(2)=1-3ln 2.

(2)∵f′(x)=a+-= (x>0),

由题可得方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1、x2,

则

解得0<a<.

(3)由(1)f(x)=x--3ln x,

故F(x)=x3-3x2-2x(x>0),F′(x)=3x2-6x-2(x>0).

设切点为T(x0,y0),由于点P在函数F(x)的图象上,

①当切点T不与点P(1,-4)重合,即当x0≠1时,由于切线过点P(1,-4),则=3-6x0-2,

所以-3-2x0+4=(x0-1)(3-6x0-2),

化简得-3+3x0-1=0,即(x0-1)3=0,

解得x0=1(舍去).

②当切点T与点P(1,-4)重合,即x0=1时,

则切线的斜率k=F′(1)=-5,

于是切线方程为5x+y-1=0.

综上所述,满足条件的切线只有一条,

其方程为5x+y-1=0.