Question

已知函数f(x)=

a

2

-

2x

2x+1

（a为常数）
（1）是否存在实数a，使函数f（x）是R上的奇函数，若不存在，说明理由，若存在，求函数f（x）的值域；
（2）探索函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的性质有 f（0）=0，代入可求a，再利用奇函数的定义进行验证；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2) =

1

2

-

2x1

2x1+1

-

1

2

+

2x2

2x2+1

，根据已知只要判断出函数值差的符号即可．

解答：解：（1）若f（x）是R上的奇函数，
则f(0)=

a

2

-

1

1+1

=0⇒a=1，
而当a=1时，f(x)=

1

2

-

2x

2x+1

=

2x-1

2(2x+1)

的定义域为R，
且对x∈R，有f(-x)= 

2-x-1

2(2-x+1)

=-

2x-1

2(2x+1)

=-f(x)，
因此，存在a=1，使函数f（x）是R上的奇函数．
由y=

2x-1

2(2x+1)

，
得2x=

-2y-1

2y-1

．
∵2^x＞0，
∴

-2y-1

2y-1

＞0?-

1

2

＜y＜

1

2

故函数f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)．
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2) =

1

2

-

2x1

2x1+1

-

1

2

+

2x2

2x2+1

=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

．
∵y=2^x是R上的增函数，∴2x2＞2x1，
又2x2+1＞0，2x1+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0⇒f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）是R上的减函数．

点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在证明（判断）函数单调性中的简单应用，奇函数的性质f（0）=0（0在定义域内），属于基础试题