Question

【题目】已知a、b、c三个实数成等差数列，则直线bx+ay+c=0与抛物线 的相交弦中点的轨迹方程是 ．

Answer 1

【答案】x+1=﹣（2y﹣1）2（y≠1）
【解析】解：设直线bx+ay+c=0与抛物线 的交点坐标为A（﹣2y12 ， y1），B（﹣2y22 ， y2）， 把x=﹣2y2代入直线方程bx+ay+c=0得：﹣2by2+ay+c=0，
∴y1y2= ，y1+y2= ，
∵a，b，c成等差数列，∴c=2b﹣a，
∴y1y2= = ﹣1，
设AB的中点为P（x，y），则x=﹣y12﹣y22=﹣（y1+y2）2+2y1y2=﹣ + ﹣2，
y= = ，
∴x=﹣4y2+4y﹣2，即x+1=﹣（2y﹣1）2 ，
由△=a2+8bc=a2+8b（2b﹣a）=a2﹣8ab+16b2=（a﹣4b）2＞0得a≠4b，
∴y≠1．
所以答案是：x+1=﹣（2y﹣1）2（y≠1）．