Question

1．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
（1）AC⊥BD           （2）AB与平面BCD成60°的角
（3）△ACD是等边三角形 （4）AB与CD所成的角为60°
正确结论的编号是①③④．

Answer 1

分析 取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．?从而得到BD⊥AC；AB与平面BCD成45°的角；设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=EC．从而AC=a；以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，利用向量法得到AB与CD所成的角为60°．

解答 解：在①中：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．?
∴BD⊥面AEC，∴BD⊥AC，故①正确；
在②中：∵AE⊥平面BCD，∠ABD为AB与面BCD所成的角，
∵AE=BE，∴∠ABD=45°，∴AB与平面BCD成45°的角，故②不正确；
在③中：设正方形边长为a，
则AD=DC=a，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=EC．∴AC=a．?
∴△ACD为等边三角形，故③正确；?
 在④中：以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，?
则A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0）．??
$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）．
cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{\frac{1}{2}a}{a×a}$=$\frac{1}{2}$．?
∴＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=60°，∴AB与CD所成的角为60°，故④正确．
∴真命题为①③④．?

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．