【题目】已知函数f(x)=ax﹣cosx,a≠0.
(1)若函数f(x)为单调函数,求a的取值范围;
(2)若x∈[0,2π],求:当a≥时,函数f(x)仅有一个零点.
【答案】(1)或(2)详见解析
【解析】
(1)首先求函数的导数,,当函数单调递增时恒成立,当函数单调递减时,恒成立;(2)根据(1)可知当时,函数单调递增,根据零点存在性定理可知只有一个交点,当时,可得函数存在两个极值点,,根据单调性可判断,是极大值,是极小值,因为,,若函数只有一个零点,只需满足,即可求得的取值范围.
(1)解:由,可得,.
因为,
所以当时,,为上的单调增函数;
当时,,为上的单调减函数.
综上,若函数为单调函数,则或.
(2)证明:当时,由(1)可知为上的单调增函数.
又,
所以函数在有且仅有一个零点,满足题意.
当时,
令,则.由于,所以,
从而必有,,使,且.
不妨设,且有,,
所以当时,,为增函数;
当时,,为减函数;
当时,,为增函数.
从而函数的极大值为,极小值为.
因为,所以,从而极大值.
又,
要使函数仅有一个零点,则极小值,
所以,即.
又,,
所以当时,函数仅有一个零点.
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【题目】为了检验“喜欢玩手机游戏与认为作业多”是否有关系,某班主任对班级的30名学生进行了调查,得到一个列联表:
认为作业多 | 认为作业不多 | 合计 | |
喜欢玩手机游戏 | 18 | 2 | |
不喜欢玩手机游戏 | 6 | ||
合计 | 30 |
(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程);
(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢玩手机游戏”与“认为作业多”有关系?
(3)若从不喜欢玩手机游戏的人中随机抽取3人,则至少2人认为作业不多的概率是多少?
参考公式及参考数据:独立性检验概率表
P() | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
计算公式:
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
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【题目】某公司结合公司的实际情况针对调休安排展开问卷调查,提出了A,B,C三种放假方案,调查结果如下:
(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n个人,已知从“支持A方案”的人中抽取了6人,求n的值;
(2)在“支持B方案”的人中,用分层抽样的方法抽取5人看作一个总体,从这5人中任意选取2人,求恰好有1人在35岁以上(含35岁)的概率.
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【题目】某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人.
(1)请完成上面的列联表;
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合计 | 110 |
(2)根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;
参考公式与临界值表 .
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛,从参加竞赛的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段,,…,后,画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息,回答下列问题:
(1)求第四组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)估计这次竞赛的及格率(60分及以上为及格)和平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
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【题目】甲乙两个学校高三年级分别有1100人,1000人,为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:
(1)计算,的值;
(2)若规定考试成绩在为优秀,请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率;
(3)若规定考试成绩在内为优秀,由以上统计数据填写下面列联表,若按是否优秀来判断,是否有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
附:,.
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