Question

14．已知椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$有顶点B₁（0，1）．
（1）求椭圆标准方程．
（2）若直线l过椭圆的右焦点F₂，且l⊥x轴，交椭圆于A、B两点，求|AB|的长．
（3）若直线l过椭圆的右焦点F₂的任一直线，交椭圆于A、B两点，S（$\frac{5}{4}$，0），求证：$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（2）F₂（1，0），把x=1代入椭圆方程可得：$\frac{1}{2}+{y}^{2}$=1，解得y即可得出；
（3）当直线l的斜率为0时，A$（-\sqrt{2}，0）$，B$（\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=-$\frac{7}{16}$．当直线l的斜率不为0时，设直线l方程：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
与椭圆方程联立化为（m²+2）y²+2my-1=0，把根与系数的关系代入$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$（{x}_{1}-\frac{5}{4}，{y}_{1}）•$$（{x}_{2}-\frac{5}{4}，{y}_{2}）$，化简整理即可得出．

解答 （1）解：由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b=1=c，a²=2．
∴椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）解：F₂（1，0），把x=1代入椭圆方程可得：$\frac{1}{2}+{y}^{2}$=1，解得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$．
（3）证明：当直线l的斜率为0时，A$（-\sqrt{2}，0）$，B$（\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$（-\frac{5}{4}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}$=-$\frac{7}{16}$．
当直线l的斜率不为0时，设直线l方程：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为（m²+2）y²+2my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+2}$．
$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$（{x}_{1}-\frac{5}{4}，{y}_{1}）•$$（{x}_{2}-\frac{5}{4}，{y}_{2}）$
=$（{x}_{1}-\frac{5}{4}）（{x}_{2}-\frac{5}{4}）$+y₁y₂
=$（m{y}_{1}-\frac{1}{4}）（m{y}_{2}-\frac{1}{4}）$+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂-$\frac{m}{4}（{y}_{1}+{y}_{2}）$+$\frac{1}{16}$
=$\frac{-（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$+$\frac{{m}^{2}}{2（{m}^{2}+2）}$+$\frac{1}{16}$
=-$\frac{7}{16}$．
综上可得：$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=-$\frac{7}{16}$为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．