Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．
（I）求点P到平面ABCD的距离，
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，△PAD与菱形ABCD有公共边AD，所以△PAD≌△ADB≌△CDB，故作PO⊥平面ABCD，垂足为点O．连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连接PE．于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD．由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，为120°，所以PO=PE•sin60°=．
（2）解法一：
建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA，OB为y轴，OP为z轴，连接AG．
则：P（0，0，），B（0，，0），PB的中点G的坐标为（0，，），A（1，，0），C（-2，，0）．根据坐标运算即可求得面APB与面CPB所成二面角的大小．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
解法二：
求解二面角的大小，关键在于作出它的平面角．取PB的中点G，PC的中点F，连接EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC．因为AD⊥PB，所以BC⊥PB，FG⊥PB，所以∠AGF是所求二面角的平面角．
解答：（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O．连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连接PE．

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD．由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE•sin60°=，
即点P到平面ABCD的距离为．
（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.．连接AG．

又知．由此得到：
，
．

所以
等于所求二面角的平面角，
于是，
所以所求二面角的大小为．
解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连接EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC．

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角．
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG．
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°．
在Rt△PEG中，EG=PE•cos60°=．
在Rt△PEG中，EG=AD=1．
于是tan∠GAE==，
又∠AGF=π-∠GAE．
所以所求二面角的大小为π-arctan．
点评：本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．