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    A、B两城相距30km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城A的影响度与厂址到城A的距离的平方成反比（比例系数k为正数），对城B的影响度也与厂址到城B的距离的平方成反比，且当厂址在弧的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，
    （1）试将总影响度y（对两城的影响度之和）表示成厂址到城A的距离x的函数；
    （2）是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．
    【答案】分析：（1）根据题意设出总影响度y与厂址到城A的距离x的函数关系，利用城A的比例系数k表示出城B的比例系数，确定出函数的解析式；
    （2）利用导数作为工具求解该函数的最值，注意方程思想的运用．根据求解的导函数的零点讨论出函数的单调性，进行作答．
    解答：解：（1）根据题意∠ACB=90°，设AC=x，则BC=，因此x∈（0，30）
    且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为k，对城B的影响度为k′，
    因此，总影响度，
     又因为垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，可得k′=4k，
    所以，x∈（0，30）
    （2）  由于=，
    令y′=0，由于x∈（0，30），可以解出x=．
    当x∈（0，）时y′＜0，y在x∈（0，）上单调递减，
    当x∈（，30）时y′＞0，y在x∈（，30）上单调递增，
    因此该函数在x=时取到最小值．
    答：存在一点到城A的距离为km，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小．
    点评：本题主要考查了函数在实际问题中的应用，运用模型思想、待定系数法求解函数解析式的能力和运用导数法研究函数的单调性、最值等问题．
    练习册系列答案
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    A、B两城相距30km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧
    AB
    上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城A的影响度与厂址到城A的距离的平方成反比（比例系数k为正数），对城B的影响度也与厂址到城B的距离的平方成反比，且当厂址在弧
    AB
    的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，
    （1）试将总影响度y（对两城的影响度之和）表示成厂址到城A的距离x的函数；
    （2）是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
    （Ⅰ）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
    （Ⅱ）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    A、B两城相距30km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧数学公式上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城A的影响度与厂址到城A的距离的平方成反比（比例系数k为正数），对城B的影响度也与厂址到城B的距离的平方成反比，且当厂址在弧数学公式的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，
    （1）试将总影响度y（对两城的影响度之和）表示成厂址到城A的距离x的函数；
    （2）是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2010年广东省揭阳市普宁二中高考数学模拟试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    A、B两城相距30km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城A的影响度与厂址到城A的距离的平方成反比（比例系数k为正数），对城B的影响度也与厂址到城B的距离的平方成反比，且当厂址在弧的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，
    （1）试将总影响度y（对两城的影响度之和）表示成厂址到城A的距离x的函数；
    （2）是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

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