Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为

6

2

，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根据题意可得：△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又因为BC∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，进而可得答案．
（II）建立坐标系，利用题中的已知条件分别求出两个平面的法向量，借助于向量的有关运算计算出向量的夹角，再转化为二面角的平面角．

解答：解：（Ⅰ）垂直．
证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又因为BC∥AD，
所以AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．
又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又E，F分别为BC，PC的中点，设AB=BC=CD=DA=2，所以AE=

3

，
AH⊥PD于H，此时EH与平面PAD所成最大角的正切值为

6

2

，
所以AH=

2

，sin∠PDA=

2

2

，
PA=DA=2，
∴A(0，0，0)，B(

3

，-1，0)，C(

3

，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(

3

，0，0)，F(

3

2

，

1

2

，1)，
所以

AE

=(

3

，0，0)，

AF

=(

3

2

，

1

2

，1)．
设平面AEF的一法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），
则

m• AE =0 m• AF =0

因此

3 x1=0 3 2 x1+ 1 2 y1+z1=0

取z₁=-1，
则

m

=（0，2，-1），因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故

BD

为平面AFC的一法向量．
又

BD

=(-

3

，3，0)，所以cos＜

m

，

BD

＞=

m • BD

| m |•| BD |

=

2×3

5 × 12

=

15

5

．
因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

15

5

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题．