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    （2013•牡丹江一模）某大学高等数学老师这学期分别用A，B两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：
    （Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？
    （Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；
    （Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
    甲班 乙班 合计
    优秀
    不优秀
    合计
    下面临界值表仅供参考：
    P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
    k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
    （参考公式：K2=
    n(ad-bc)2
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
    ，其中n=a+b+c+d）
    分析：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60分-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，可得乙班的平均分高．
    （Ⅱ）记成绩为86分的同学为A，B其他不低于80分的同学为 C、D、E、F，一切可能结果组成的基本事件有15个，
    “抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有9个，由此求得所求事件的概率．
    （Ⅲ）计算K2=
    4×(3×10×-10×17)2
    13×27×20×20
    ≈5.584＞5.024，由此得出结论．
    解答：解：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60分-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，
    所以乙班的平均分高．-----（3分）
    （Ⅱ）记成绩为86分的同学为A，B其他不低于80分的同学为 C、D、E、F，
    “从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：
    （A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（A，F）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（B，F）、
    （C，D）、（C，E）、（C，F）、（D，E）、（D，F）、（E，F），一共15个，
    “抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：
    （A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（A，F）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（B，F）
    共9个，------（5分）
    故 所求事件的概率为 P=
    9
    15
    =
    3
    5
    ．-----（7分）
    甲班 乙班 合计
    优秀 3 10 13
    不优秀 17 10 27
    合计 20 20 40
    ---------（9分）
    （Ⅲ）K2=
    4×(3×10×-10×17)2
    13×27×20×20
    ≈5.584＞5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，
    可以认为成绩优秀与教学方式有关．------（12分）
    点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式，茎叶图以及独立性检验，属于基础题．
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    z
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    1+1nx
    x
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    1
    3
    )(a＞0)    上存在极值点，求实数a的取值范围；
    （2）知果当x≥1时，不等式f(x)≥
    k
    x+1
    恒成立，求实数k的取值范围；
    （3）求证：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+
    2
    n+1
    ，这里n∈N*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e为自然对数的底数．

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